Question

已知函數(shù)f（x）=x³+a•x²+bx+c的圖象上的一點M（1，m）處的切線的方程為y=2，其中a，b，c∈R．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）³+k，（t，k為常數(shù)）；
（2）問函數(shù)y=f（x）是否有單調(diào)減區(qū)間，若存在，求單調(diào)減區(qū)間（用a表示），若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)，得到切線的斜率，建立一等式，再根據(jù)切點在函數(shù)圖象上，建立另一等式，解方程組即可求出所求；
（2）先求導函數(shù)，然后f′（x）=0，討論兩根的大小，將a分為三種情形，再分別求出對應的單調(diào)減區(qū)間．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）f′（x）=3x²+2a•x+b⇒f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2⇒f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3⇒b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2…（4分）
（2）f′（x）=3x²+2a•x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a•x-(2a+3)=3(x+

2a+3

3

)•(x-1)…（6分）
令f′(x) =0⇒x=-

2a+3

3

，x=1…（8分）
當-

2a+3

3

=1?a=-3即f′（x）=3（x-1）²≥0
∵f（x）為R上為增函數(shù)，所以函數(shù)沒有單調(diào)減區(qū)間；          …（9分）
當-

2a+3

3

＞1?a＜-3時，可以判定f（x）單調(diào)減區(qū)間為(1，-

2a+3

3

)…（10分）
當-

2+3a

3

＜1?a＞-3時，可以判定f（x）單調(diào)減區(qū)間為(-

2a+3

3

，1)…（11分）
綜上：a=-3，函數(shù)沒有單調(diào)減區(qū)間；a＜-3，f（x）單調(diào)減區(qū)間為(1，-

2a+3

3

)；
a＞-3，f（x）單調(diào)減區(qū)間為(-

2a+3

3

，1)．…（12分）

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．