Question

設F1(-1，0)，F2(1，0)，動點M滿足|MF1|+|MF2|=2

2

．
（1）求M的軌跡C的方程；
（2）設直線l：y=

7

7

(x-1)與曲線C交于A、B兩點，求

F1A

•

F1B

的值．

Answer 1

分析：（1）直接由橢圓的定義得到所求動點M的軌跡為橢圓，由已知條件求出a和c，繼而求出b的值，則軌跡方程可求；
（2）聯立直線和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，設出交點坐標，由根與系數關系得到兩交點的橫縱坐標的和與積，寫出向量的坐標表示，展開數量積運算，代入根與系數關系后整理得答案．

解答：解：（1）設動點M（x，y），
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），∴|MF1|+|MF2|=2

2

＞2=|F1F2|，
則M的軌跡為以F₁，F₂為焦點，以2

2

為長軸的橢圓，
則a=

2

，c=1，b2=a2-c2=1．
方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）聯立

y= 7 7 (x-1) x2 2 +y2=1

，得9x²-4x-12=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4

9

，x1x2=-

12

9

．

F1A

=(x1+1，y1)，

F1B

=(x2+1，y2)，
∴

F1A

•

F1B

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）
=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=

8

7

x1x2+

6

7

(x1+x2)+

8

7

=

8

7

×(-

12

9

)+

6

7

×

4

9

+

8

7

=0．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量的數量積運算，訓練了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．