Question

在正方體ABCD-A'B'C'D'中，點(diǎn)M是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對角線BD′的中點(diǎn)。

（I）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；
（Ⅱ）求二面角M-BC'-B′的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)K，則K為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OK 因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA'的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD'的中點(diǎn) 所以 所以 由AA'⊥AK，得MO⊥AA′ 因?yàn)锳K⊥BD，AK⊥BB′ 所以AK⊥平面BDD'B' 所以AK⊥BD' 所以MO⊥BD' 又因?yàn)镺M與異面直線AA'和BD'都相交，故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線； （Ⅱ）取BB'的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN⊥平面BCC'B' 過點(diǎn)N作NH⊥BC'于H，連結(jié)MH，則由三垂線定理得，BC′⊥MH 從而，∠MHN為二面角M-BC'-B'的平面角 設(shè)AB=1，則MN=1，NH=BNsin45°= 在Rt△MNH中，tan∠MHN= 故二面角M-BC′-B′的大小為。