Question

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=．
（1）求證：CD⊥平面ADS；
（2）求AD與SB所成角的余弦值；
（3）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證CD⊥平面ADS，只需證明直線CD垂直平面ADS內的兩條相交直線AD、SD即可；
（2）要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角，解三角形可求AD與SB所成角的余弦值；
（3）過A作AE⊥DB于E  又過A作AF⊥SB于F，連接EF，說明∠AFB為二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．
解答：（I）證明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD（1分）
又SD⊥AB，AB∥CD，則CD⊥SD（2分）
AD⊥SD（3分）
∴CD⊥平面ADS（4分）

（II）解：矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，
∴要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角（5分）
在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．
∴Rt△SDC中，
∴CD是CS在面ABCD內的射影，且BC⊥CD，
∴SC⊥BC（6分）
tan∠SBC=
cos∠SBC=（8分）
從而SB與AD的成的角的余弦為．

（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB
∴SD⊥面ABCD．
∴平面SDB⊥平面ABCD，BD為面SDB與面ABCD的交線．
∴過A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB
又過A作AF⊥SB于F，連接EF，
從而得：EF⊥SB
∴∠AFB為二面角A-SB-D的平面角（10分）
在矩形ABCD中，對角線∵
BD=∴在△ABD中，AE=
由（2）知在Rt△SBC，．
而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB²=SA²+AB²，
∴△SAB為等腰直角三角形且∠SAB為直角，
∴
∴
所以所求的二面角的余弦為（12分）
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，異面直線所成的角，考查學生邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．