Question

(本題滿分12分) 直角三角形的直角頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，，為兩個(gè)定點(diǎn)，作于，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為．(Ⅰ) 求曲線的方程；(Ⅱ) 是否存在方向向量為m的直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，使，且與的夾角為？若存在，求出所有滿足條件的直線方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ)

解析:

(Ⅰ)由題意知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，且除去兩點(diǎn)．

即點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程：．

設(shè)點(diǎn)，，則，　　①

由知，即．代入①式

得　，即，曲線的方程為．（4分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)直線存在，由題知為正三角形，

設(shè)，，線段中點(diǎn)為，則，且，（6分）

，作差得，，

直線，又直線，點(diǎn)坐標(biāo)．

坐標(biāo)為，，又，

．　　②    …（8分）

點(diǎn)到直線的距離，③

又由得，由②式得，

，，

．　④…（10分）

，由②③④得：，此時(shí)直線與橢圓交點(diǎn)有或，與曲線中矛盾，舍去．不存在符合題中要求的直線．……………（12分）