Question

橢圓的離心率為，長軸長為12，直線y=kx-4與橢圓交于A，B，弦AB的長為，求此直線的斜率．

Answer 1

解：由長軸長為12，得a=6，由離心率為，得，解得c=，所以b²=a²-c²=36-27=9，
所以橢圓方程為：，
設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），由，消掉y得（1+4k²）x²-32kx+28=0，則，，
△=（32k）²-4×28（1+4k²）=16（36k²-7），
|AB|==•=•=．
解得k=，經驗證△＞0成立，
故直線斜率為：．
分析：根據長軸長及離心率可求出橢圓方程，根據弦長公式可用k表示出弦長，令其為，解出即可，注意檢驗．
點評：本題考查橢圓方程的求解及直線與圓錐曲線的位置關系，考查弦長公式，考查學生的運算能力，本題屬中檔題．