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函數f（x）=

1-x2

x-2

的最小值為

．

分析：令x=cosα（0≤α≤π）根據同角三角函數關系可將函數解析式化為f（x）=

sinα

cosα-2

（0≤α≤π），分析其幾何意義，利用數形結合的方法可得答案．

解答：解：令x=cosα（0≤α≤π），則
函數y=f（x）=

1-x2

x-2

sinα

cosα-2

（0≤α≤π），
它表示B（cosα，sinα）與A（2，0）連線的斜率，如下圖所示：

由圖可得：當AB與半圓相切時，函數y取最小值
此時∠OAB=30°，
k_AB=tan（180°-30°）=-

故答案為：-

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，其中利用換元法和數形結合法進行轉化是解答的關鍵．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為

，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下面對命題“函數f（x）=x+

是奇函數”的證明不是綜合法的是（　　）

A．?x∈R且x≠0有f（-x）=（-x）+

-x

=-（x+

）=-f（x），∴f（x）是奇函數

B．?x∈R且x≠0有f（x）+f（-x）=x+

+（-x）+（-

）=0，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）是奇函數

C．?x∈R且x≠0，∵f（x）≠0，∴

f(-x)

f(x)

-x-

=-1，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數

D．取x=-1，f（-1）=-1+

-1

=-2，又f（1）=1+

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列說法中：
①函數f(x)=

x-1

x+1

與g（x）=x的圖象沒有公共點；
②若定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x-1），則6為函數f（x）的周期；
③若對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，則a＞

；
④定義：“若函數f（x）對于任意x∈R，都存在正常數M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，則稱函數f（x）為有界泛函．”由該定義可知，函數f（x）=x²+1為有界泛函．
則其中正確的個數為

．

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

下面對命題“函數f（x）=x+

是奇函數”的證明不是綜合法的是（　　）

A．?x∈R且x≠0有f（-x）=（-x）+

-x

=-（x+

）=-f（x），∴f（x）是奇函數

B．?x∈R且x≠0有f（x）+f（-x）=x+

+（-x）+（-

）=0，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）是奇函數

C．?x∈R且x≠0，∵f（x）≠0，∴

f(-x)

f(x)

-x-

=-1，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數

D．取x=-1，f（-1）=-1+

-1

=-2，又f（1）=1+

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