Question

定義在區間[2，4]上的函數f(x)＝3^x－m(m是常數)的圖象過點(2，1)，則函數F(x)＝[f^－1(x)]²－f^－1(x²)的值域為

[　　]

A．[2，5]

B．[1，＋∞)

C．[2，10]

D．[2，13]

Answer 1

答案：A
解析：

先由條件求出m，再求f(x)的反函數，注意f(x)的定義域．由條件可知，32－m＝1，∴m＝2，∴f(x)＝3x－2，f－1(x)＝log3x＋2(1≤x≤9)． 　　∴F(x)＝(log3x＋2)2－(log3x2＋2) 　　＝log＋2log3x＋2(1≤x≤3) 　　＝(log3x＋1)2＋1，故當x＝1時，F(x)min＝2； 　　當x＝3時，F(x)max＝5．∴F(x)的值域為[2，5]．

提示：

指數函數與對數函數互為反函數，由y＝3x－2，得x－2＝log3y，∴x＝log3y＋2．交換x，y的位置得f(x)的反函數f－1(x)＝log3x＋2(1≤x≤9)．反函數的定義域是原函數的值域，應注意．求已知函數的反函數要求不多，學習時要適可而止．關于f(x)的定義域是由1≤x≤9，且1≤x2≤9，即1≤x≤3，不是1≤x≤9，做題時要特別注意．