Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上．
（Ⅰ）求證：BC⊥A₁B；
（Ⅱ）若AD=

3

，AB=BC=2，P為AC的中點，求三棱錐P-A₁BC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證BC⊥A₁B，可尋找線面垂直，而A₁A⊥BC，AD⊥BC．又AA₁?平面A₁AB，AD?平面A₁AB，A₁A∩AD=A，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁AB，問題得證；
（Ⅱ）根據直三棱柱的性質可知A₁A⊥面BPC，求三棱錐P-A₁BC的體積可轉化成求三棱錐A₁-PBC的體積，先求出三角形PBC的面積，再根據體積公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴A₁A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC （2分）
∵AD⊥平面A₁BC，且BC?平面A₁BC，
∴AD⊥BC．又AA₁?平面A₁AB，
AD?平面A₁AB，A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AB，（5分）
又A₁B?平面A₁BC，
∴BC⊥A₁B；（6分）
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥AB．
∵AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上，
∴AD⊥A₁B．
在Rt∠△ABD中，AD=

3

，AB=BC=2，
sin∠ABD=

AD

AB

=

3

2

，∠ABD=60°，
在Rt∠△ABA₁中，AA1=AB•tan600=2

3

．（8分）
由（Ⅰ）知BC⊥平面A₁AB，AB?平面A₁AB，
從而BC⊥AB，S△ABC•=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2．
∵P為AC的中點，S△BCP=

1

2

S△ABC=1（10分）
∴VP-A1BC=VA1-BCP=

1

3

S△BCP•A1A=

1

3

×1×2

3

=

2 3

3

．（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．