Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段與軸的交點滿足.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點作不與軸重合的直線，設與圓相交于兩點，與橢圓相交于兩點，當且時，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）由知是中點，從而得軸，因此得，再把點坐標代入橢圓方程再結合可解得得橢圓方程；

（2）設直線的方程為，，，代入圓方程可得，計算，由可解得，設，把代入橢圓方程可得，由計算出面積，最后根據的范圍得面積的范圍.

詳解：（1）∵，則為線段的中點，∴是的中位線，

又，∴，于是，且，解得，，

∴橢圓的標準方程為．

（2）由（1）知，，由題意，設直線的方程為，，，

由得，則，．

．

∵，∴，解得．

由消得，設，，

則 ．

設，則，其中，

∵關于在上為減函數，∴，即的面積的取值范圍為．