Question

某農產品去年各季度的市場價格如下表：

季  度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
每噸售價（單位：元）	195.5	200.5	204.5	199.5

今年某公司計劃按去年各季度市場價格的“平衡價m”（平衡價m是這樣的一個量：m與各季度售價差的平方和最小）收購該種農產品，并按每個100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點），計劃可收購a萬噸，政府為了鼓勵公司多收購這種農產品，決定將稅率降低x個百分點，預測收購量可增加2x個百分點，
（1）根據題中條件填空，m=

 

（元/噸）；
（2）寫出稅收y（萬元）與x的函數關系式；
（3）若要使此項稅收在稅率調節后不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由題意得：要使（m-195.5）²+（m-200.5）²+（m-204.5）²+（m-199.5）²最小，展開后配方可得，m取四個季度的市場價格的平均數即可；
（2）先寫出降低稅率后的稅率及農產品的收購量、收購總金額，從而進一步寫出故稅收y（萬元）與x的函數關系式即得；
（3）依題意得出關于x的一元二次不等式，再解此二次不等式即可得x的取值范圍．從而問題解決．

解答：解：（1）由題意得：要使（m-195.5）²+（m-200.5）²+（m-204.5）²+（m-199.5）²最小，
m取四個季度的市場價格的平均數即可，
∴m=200；（3分）
（2）降低稅率后的稅率為（10-x）%，
農產品的收購量為a（1+2x%）萬噸，
收購總金額為200a（1+2x%）
故y=200a（1+2x%）（10-x）%=

200

10000

a（100+2x）（10-x）
=

1

50

a（100+2x）（10-x）（0＜x＜10）；（8分）
（3）原計劃稅收為200a×10%=20a（萬元），
依題意得：

1

50

a（100+2x）（10-x）≥20a×83.2%，即x²+40x-84≤0．
解得-42≤x≤2，又0＜x＜10，
∴0＜x≤2（13分）
答：x的取值范圍是{x|0＜x≤2}．（14分）

點評：構造二次函數模型，函數解析式求解是關鍵，然后利用配方法、數形結合法等方法求解二次函數最值，但要注意自變量的實際取值范圍．