Question

已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，A為上頂點，AF₁交橢圓E于另一點B，且△ABF₂的周長為8，點F₂到直線AB的距離為2．
（I）求橢圓E的標準方程；
（II）求過D（1，0）作橢圓E的兩條互相垂直的弦，M、N分別為兩弦的中點，求證：直線MN經過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8⇒a=2，再由點F₂到直線AB的距離，可以求出橢圓E的標準方程：．
（II）由題設條件可知，由此可推導出直線MN過定點
解答：解：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8，∴a=2
設，因為A（0，b），
∴直線AB的方程為，
∴點F₂到直線AB的距離，，
∴橢圓E的標準方程：．
（II）設以M為中點的弦與橢圓交于（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
∴，同理，
∴，，
整理得，
∴直線MN過定點．
當直線P₁Q₁的斜率不存在或為零時，P₁Q₁、P₂Q₂的中點為點D及原點O，直線MN為x軸，
也過此定點，
∴直線MN過定點．
點評：本題主要考查直線、橢圓的基礎知識，考查函數與方程思想、分別事整合思想及化歸與轉化思想．