Question

已知動圓M過定點F（0，-

2

），且與直線y=

2

相切，橢圓N的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個焦點為F，點A（1，

2

）在橢圓N上．
（1）求動圓圓心M的軌跡Γ的方程及橢圓N的方程；
（2）若動直線l與軌跡Γ在x=-4處的切線平行，且直線l與橢圓N交于B，C兩點，試求當(dāng)△ABC面積取到最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線定義得，點M的軌跡是以F（0，-

2

）為焦點，直線y=

2

為準線的拋物線，由此可得軌跡Γ的方程；設(shè)出橢圓方程，利用點A（1，

2

）在橢圓N上，可得橢圓N的方程；
（2）設(shè)出切線方程，代入橢圓方程，求得|BC|，點A到直線的距離，表示出面積，利用基本不等式，即可求得△ABC面積取到最大值時直線l的方程．

解答：解：（1）過圓心M作直線y=

2

的垂線，垂足為H．
由題意得，|MH|=|MF|，由拋物線定義得，點M的軌跡是以F（0，-

2

）為焦點，直線y=

2

為準線的拋物線，
其方程為x2=-4

2

y．
設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，將點A代入方程

2

a2

+

1

a2-2

=1
整理得a⁴-5a²+4=0，解得a²=4或a²=1（舍去）
故所求的橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）軌跡Γ的方程為x2=-4

2

y，即y=-

1

4 2

x2，則y′=-

1

2 2

x，所以軌跡軌跡Γ在x=-4處的切線斜率為k=

2

，
設(shè)直線l方程為y=

2

x+m，代入橢圓方程整理得4x²+2

2

mx+m²-4=0
因為△=8m²-16（m2-4）＞0，解得-2＜m＜2；
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

所以BC|=

3

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

×

4- 1 2 m2

∵點A到直線的距離為d=

|m|

3

，所以S_△ABC=

1

2

×

3

×

4- 1 2 m2

×

|m|

3

=

2

2

×

(4- 1 2 m2)× m2 2

≤

2

當(dāng)且僅當(dāng)4-

1

2

m2=

1

2

m2，即m=±2時等號成立，此時直線l的方程為y=

2

x±2．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．