Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線Ω：y²=2px（p＞0）的焦點F，與拋物線交于兩點A，B，
（1）若|AB|=8，求拋物線Ω的方程；
（2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求△ABC的面積S的最大值；
（3）設P是拋物線Ω上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，再利用根與系數(shù)的關系及拋物線的定義即可求出其方程；
（2）當過點C的切線與AB平行時三角形ABC的面積最大，求出弦長|AB|及兩平行線間的距離即可；
（3）根據(jù)點A、B、P在拋物線上可設出其坐標，利用點斜式分別寫出直線PA、PB的方程，進而得出點M、N的坐標，再利用（1）的結論及根與系數(shù)的關系即可證明結論．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直線l斜率為1且過焦點F，∴直線l的方程為．
聯(lián)立，消去y得到關于x的方程，
由題意，△=9p²-p²＞0．
由根與系數(shù)的關系得x₁+x₂=3p，．
由拋物線的定義可得：|AB|=xx₁+x₂+p=4p，又|AB|=8，∴4p=8，∴p=2．
因此所求的拋物線方程為y²=4x．
（2）由題意可知：當過點C的切線與AB平行時三角形ABC的面積最大，
設此切線為y=x+t，與拋物線方程聯(lián)立得，消去y得到關于x的方程x²+（2t-2p）x+t²=0，
∴△=（2tt-2p）²-4t²=0，解得，∴切線為．
因此切線與直線AB的距離d==．
∴△ABC的最大面積==．
（3）設A，，P．
則直線PA的方程為，化為，
令，則y_M=，
同理可得，
∴y_M•y_N=，
由（1）可得：y²-2py-p²=0，
∴y₁+y₂=2p，．
∴y_M•y_N==-p²為定值．
點評：熟練掌握直線的點斜式方程、拋物線的定義、直線與拋物線方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)后得到的一元二次方程的根與系數(shù)的關系、切線的性質(zhì)及兩平行線間的距離是解題的關鍵．