Question

在二項式（2x-3y）⁹的展開式中，
求：（1）二項式系數之和；    
（2）各項系數之和；    
（3）所有奇數項系數之和；    
（4）系數絕對值的和。

Answer 1

解：設（2x-3y）⁹=a₀x⁹+a₁x⁸y+a₂x⁷y²+…+a₉y⁹，
（1）二項式系數之和為；
（2）各項系數之和為a₀+a₁+a₂+…+a₉，
令x=1，y=1，
∴a₀+a₁+a₂+…+a₉=（2-3）⁹=-1；
（3）由（2）知a₀+a₁+a₂+…+a₉=-1，
令x=1，y=-1，可得：a₀-a₁+a₂-…-a₉=5⁹，
將兩式相加除以2可得：a₀+a₂+a₄+a₆+a₈=，
即為所有奇數項系數之和；
（4）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₉，
令x=1，y=-1，
則|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₉=5⁹。