Question

已知直線l₀：x-y+2=0和圓C：x²+y²-8x+8y+14=0，設與直線l₀和圓C都相切且半徑最小的圓為圓M，直線l與圓M相交于A，B兩點，且圓M上存在點P，使得，其中．
（1）求圓M的標準方程；
（2）求直線l的方程及相應的點P坐標．

Answer 1

解：（1）∵圓C：x²+y²-8x+8y+14=0，即（x-4）²+（y+4）²=18，
所以圓心C（4，-4），半徑r₀=3，圓心C到直線l₀的距離d₀==5，
則⊙M的半徑r==，
⊙M的圓心M在經過點C（4，-4），與l₀的垂直的直線上，即在直線y=-x上
設圓心M（x₀，-x₀），則由|MC|=r+r₀=，解得M（0，0）或（8，-8）
其中只有M（0，0）滿足到直線l₀的距離為半徑r=，即符合題意
⊙M的標準方程為：x²+y²=2．
（2）由=（λ，3λ），即點P（l，3l）代入⊙M：x²+y²=2，，得l=，
P（）或（），且k_OP=3，
∵，且，
∴，，
設直線l：y=-x+b，即x+3y-3b=0，
圓心M（0，0）到直線l的距離，
解得3b= 則當點P（）時，l：x+3y-=0；
當點P（）時，l：x+3y+=0．
分析：（1）化簡圓C為標準方程（x-4）²+（y+4）²=18，求出圓心C（4，-4），半徑r₀=3，求出圓心C到直線l₀的距離d₀，推出⊙M的半徑r，利用⊙M的圓心M在經過點C（4，-4），與l₀的垂直的直線上，設出圓心M（x₀，-x₀），則由|MC|=r+r₀，解得M坐標，求出M的標準方程．
（2）由=（λ，3λ），求出P的坐標，求出k_AB，設直線l：y=-x+b，利用圓心M（0，0）到直線l的距離，求出P，得到直線l的方程．
點評：本題考查直線與圓的方程的綜合應用，圓心坐標的求法，圓心到直線的距離的求法，考查計算能力，轉化思想．