Question

 已知過函數f（x）=的圖象上一點B（1，b）的切線的斜率為－3．

   （1）求a、b的值；

   （2）求A的取值范圍，使不等式f（x）≤A－1991對于x∈[－1，4]恒成立；

   （3）令．是否存在一個實數t，使得當時，g（x）有最大值1？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）=

依題意得k==3+2a=－3， ∴a=－3

，把B（1，b）代入得b=

∴a=－3，b=－1

   （2）令=3xx=0得x=0或x=2

∵f（0）=1，f（2）=×2²＋1=－3

f（－1）=－3，f（4）=17

∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17

要使f（x）≤A－1991對于x∈[－1，4]恒成立，則f（x）的最大值17≤A－1991

∴A≥2008．

   （3）已知g（x）=－

∴

∵0＜x≤1，∴－3≤－3x²＜0，

①當t＞3時，t－3x²＞0，

∴g（x）在上為增函數，

g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合題意,舍去）

②當0≤t≤3時,

令=0,得x=

列表如下:

x	（0, ）
	＋	0	－
g（x）	↗	極大值	↘

 

g（x）在x=處取最大值－＋t=1

∴t==＜3

∴x=＜1

③當t＜0時，＜0，∴g（x）在上為減函數，

∴g（x）在無最大值.

∴存在一個t=，使g（x）在上有最大值1