Question

已知向量

m

=（-2sin（π-x），cosx），

n

=（

3

cosx，2sin（

π

2

-x）），函數f（x）=1-

m

•

n

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f（x）的周期及單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的數量積，通過二倍角公式與兩角差的正弦函數，化簡函數我一個角的一個三角函數的形式，即可求函數f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數的單調增區間，構造關于相位角的不等式，解不等式可求出函數的單調增區間到．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=

3

2sin（π-x）

3

cosx+2cosxsin（

π

2

-x）
=-2

3

sinxcosx+2cos2x=-

3

sin2x+cos2x+1      2分
∴f（x）=1-

m

•

n

=

3

sin2x-cos2x，…（3分）
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）．…（4分）
（2）由（1）知f（x）的周期為π由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ （k∈Z），
解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ （k∈Z）…（6分）
∴f（x）的單調遞增區間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）…（12分）

點評：本題借助向量的數量積的化簡，求解函數的解析式，考查三角函數的基本性質，函數的圖象的變換．