Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，點P是AD₁上的動點．
（1）試求四棱錐P-A₁B₁C₁D₁體積的最大值；
（2）試判斷不論點P在AD₁上的任何位置，是否都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁？并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體∴側面AA₁D₁⊥底面A₁B₁C₁D₁
∴四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的高為點P到平面A₁B₁C₁D₁的距離
當點P與點A重合時，四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的高取得最大值，這時四棱錐P-A₁B₁C₁D₁體積最大，
在 Rt△AA₁D₁中∵∠AD₁A₁=60°
∴，A₁D₁=AD₁cos60°=2，
∴（）_max=••AA₁=
（2）不論點P在AD₁上的任何位置，都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁．證明如下：
由題意知，B₁A₁⊥A₁D₁，B₁A₁⊥A₁A，
又∵AA₁∩A₁D₁=A₁
∴B₁A₁⊥平面AA₁D₁
又A₁B₁?平面B₁PA₁
∴平面B₁PA₁⊥平面AA₁D₁．
分析：（1）由棱錐的體積公式，由底面A₁B₁C₁D₁的面積固定，則四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的高取最大值時，四棱錐P-A₁B₁C₁D₁體積取最大值，結合P是AD₁上的動點，易得當P與A重合時滿足條件，代入棱錐的體積公式，即可求出答案．
（2）由題意知，B₁A₁⊥A₁D₁，B₁A₁⊥A₁A，由線面垂直的判定定理，可得B₁A₁⊥平面AA₁D₁，進而由面面垂直判定得到平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積公式，其中（1）的關鍵是判斷出當P與A重合時滿足四棱錐P-A₁B₁C₁D₁體積取最大值，（2）的關鍵是證得B₁A₁⊥平面AA₁D₁．