Question

某單位準備印制一批書面材料，現有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分，乙廠直接按印刷數量收取印刷費．甲廠的印刷費用y（千元）與書面材料數量x（千份）的關系見下表：

書面材料數量x（千份）	0	1	2	3	4	5	6	…
甲廠的印刷費用y（千元）	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	…

乙廠的印刷費用y（千元）與書面材料數量x（千份）的函數關系圖象如圖所示．
（1）請你直接寫出甲廠的：制版費、印刷費用y與x的函數解析式和其書面材料印刷單價，并在圖中坐標系中畫出甲廠印刷費用y與x的函數圖象．
（2）根據圖象，試求出當x在什么范圍內時乙廠比甲廠的印刷費用低？
（3）現有一客戶需要印8千份書面材料，想從甲、乙兩廠中選擇一家印刷費用低的廠家，
如果甲廠想把8千份書面材料的印制工作承攬下來，在不降低制版費的前提下，每份書面材料最少降低多少元？

Answer 1

分析：（1）觀察表格可知，當x=0時，y=1，得出甲廠的制版費為1千元；設y_甲=mx+n，將（0，1），（1，1.5）代入，運用待定系數法即可求出甲廠的印刷費用y_甲與x的函數解析式；由表格可知，每多印1千份書面材料，印刷費用多0.5千元，所以書面材料印刷單價為0.5元；運用兩點法可畫出甲廠印刷費用y_甲與x的函數圖象；
（2）先運用待定系數法分別求出0≤x≤2、x＞2時，y_乙與x的函數解析式，再求出兩函數的交點坐標，然后觀察圖象，y_乙落在y_甲下方的部分對應的x的范圍即為所求；
（3）先分別求出x=8時，甲、乙兩廠的印刷費用，進而得到甲廠想把8千份書面材料的印制工作承攬下來所需要降低的費用為500元，然后根據甲廠降低的費用不小于500，列出不等式．

解答：解：（1）由表格可知，甲廠的制版費為1千元，y_甲=

1

2

x+1，證書單價為0.5元，圖象如圖所示：
（2）當0≤x≤2時，設乙廠的印刷費用y（千元）與書面材料數量x（千份）的函數解析式為y_乙=kx，
由已知得2k=3，解得k=1.5，
∴y_乙=1.5x（0≤x≤2）．
當x＞2時，由圖象可設y_乙與x的函數關系式為y_乙=k′x+b，
由已知得，

2k′+b=3 6k′+b=4

，解得

k′= 1 4 b= 5 2

，
∴y_乙=

1

4

x+

5

2

（x≥2）．
解方程組

y= 1 2 x+1 y=1.5x

，得

x=1 y=1.5

．
解方程組

y= 1 2 x+1 y= 1 4 x+ 5 2

，得

x=6 y=4

．
∴兩函數的交點坐標為（1，1.5）（6，4），
觀察圖象，可得當0＜x＜1或x＞6時，乙廠比甲廠的印刷費用低；
（3）當x=8時，甲廠的印刷費用：y_甲=

1

2

×8+1=5，乙廠的印刷費用：y_乙=

1

4

×8+

5

2

=4.5，
甲廠比乙廠多花：5-4.5=0.5千元=500元．
如果甲廠想把8千份書面材料的印制工作承攬下來，在不降低制版費的前提下，設甲廠每份書面材料的印刷費用降低a元，
由題意，有8000a≥500，
解得a≥0.0625．
故甲廠每個材料印刷費最少降低0.0625元．

點評：本題主要考查了一次函數及一元一次不等式在實際生活中的應用，涉及到的知識有運用待定系數法求函數的解析式，平面直角坐標系中交點坐標的求法，函數圖象的畫法等，從圖表及圖象中獲取信息是解題的關鍵，屬于中檔題．