Question

已知雙曲線的右定點為A，右焦點為F，右準線與x軸交于點B，且與一條漸近線交于點C，點O為坐標原點，又OA=2OB，OA•OC=2，過點F的直線與雙曲線右交于點M、N，點P為點M關于x軸的對稱點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）證明：B、P、N三點共線；
（3）求△BMN面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意得A（a，0），B（，又⇒…①．，由題設知⇒
聯立①、②，得a=2，c=4．由此可得雙曲線的方程．
（II）由題設得點B（1，0），F（4，0），設直線l的方程為x=ty+4，由⇒（3t²-1）y²+24ty+36=0，由此入手可證出B、P、N三點共線．
（III）由題意知x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16=，所以
=，由此能求出△BMN面積的最小值．
解答：解：（I）由題意得A（a，0），B（，又⇒…①
由⇒⇒
聯立①、②，得a=2，c=4
∴雙曲線的方程為．

（II）由（I），得點B（1，0），F（4，0），設直線l的方程為x=ty+4
由⇒（3t²-1）y²+24ty+36=0
∴
∵（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₂

∴向量與共線，∴B、P、N三點共線．

（III）∵直線l與雙曲線右支相交于M、N兩點
∴x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16
=⇒⇒
∴
=
令u=1-3t²，u∈（0，1]
∴=
由u∈（0，1]⇒
∴，即t=0時，△BMN面積最小值為18．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解．