Question

設函數f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)，x∈R
（1）求使f（x）取得最大值時，向量

a

和

b

的夾角；
（2）若A={x|f（x）≥1}，B={x|-π≤x≤π}，求A∩B；
（3）若x∈{A，B，C}，且A，B，C是某個銳角三角形的三個內角，求證；存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1．

Answer 1

分析：（1）先表示函數f（x）的解析式并化簡，找到f（x）取最大值時x的值，進而確定兩個向量的坐標，再求夾角即可
（2）先求集合A，再給k賦值，與B取交集即可
（3）先假設存在這樣的角x₀，然后再求出x₀的范圍，把問題轉化為求函數的最大值問題，即可得證

解答：解：∵

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)
（1）當sin(x-

π

6

) =1
即x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

2π

3

(k∈Z)時，f（x）取得最大值
此時

b

=(

3

2

，-

1

2

)
∴cos＜

a

，

b

＞  =

a • b

| a | | b |

=

3 2 + 1 2

2×1

=1
∴＜

a

，

b

＞  =0
（2）由f（x）≥1，得sin(x-

π

6

) ≥

1

2

∴2kπ+

π

6

≤x-

π

6

≤ 2kπ+

5π

6

 (k∈Z)
∴2kπ+

π

3

≤x≤ 2kπ+π   (k∈Z)
∴A={x|2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+π，k∈Z}
又B={x|-π≤x≤π}
∴A∩B=[

π

3

，π]
證明：（3）∵x∈{A，B，C}，且A，B，C是某個銳角三角形的三個內角，且A+B+C=π
設A、B、C中的最小角x₀∈{A，B，C}
∴0＜x0＜

π

3

∴-

π

6

＜x0-

π

6

≤ 

π

6

∴f(x0) =2sin(x0-

π

6

)  ≤2×

1

2

=1
∴存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1

點評：本題考查和角公式的應用、正弦型函數的性質和向量的數量積，注意和角公式和夾角公式的應用．屬簡單題