Question

22、已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求證：對任意正整數n，都存在正整數p，使得a_p=b_n²成立．

Answer 1

分析：利用二項式定理進行轉化是解決本題的關鍵，關鍵要理解a_n=4n+5表示的是被4除余1的數，進行拆項轉化的技巧．

解答：解：a_n=4n+5=4（n+1）+1，表示的是被4除余1的數，
而b_n²=9ⁿ=（8+1）ⁿ=C_n⁰8ⁿ+C_n¹8^n-1+…+C_n^n-1•8+1，展開式除最后一項之外均為8也為4的倍數，
因此b_n²表示被4除余1的數，
因此，對任意正整數n，都存在正整數p，使得a_p=b_n²成立．

點評：本題考查整數之間關系的理解和認識，考查二項式展開式的理解和運用，考查學生的轉化與化歸思想，關鍵要尋找已知等式兩邊數的特性，進行探究性問題的求解．