Question

已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x．（a∈R，e為自然對數的底數）
（I）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在上無零點，求a的最小值；
（Ⅲ）若對任意給定的x∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）把a等于1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數的增區間，令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數的減區間；
（II）f（x）小于0時不可能恒成立，所以要使函數在（0，）上無零點，只需要對x屬于（0，）時f（x）大于0恒成立，列出不等式解出a大于一個函數，利用導數得到函數的單調性，根據函數的增減性得到這個函數的最大值即可得到a的最小值；
（III）求出g′（x），根據導函數的正負得到函數的單調區間，即可求出g（x）的值域，而當a等于2時不合題意，當a不等于2
時，求出f′（x）=0時x的值，根據x屬于（0，e]列出關于a的不等式得到①，并根據此時的x的值討論導函數的正負得到函數f（x）的單調區間，根據單調區間得到②和③，令②中不等式的坐標為一個函數，求出此函數的導函數，討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到此函數的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，聯立①和④即可解出滿足題意a的取值范圍．
解答：解：（I）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，則f'（x）=1-，
由f'（x）＞0，得x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的單調減區間為（0，2]，單調增區間為[2，+∞）；
（II）因為f（x）＜0在區間上恒成立不可能，
故要使函數上無零點，
只要對任意的，f（x）＞0恒成立，即對恒成立．
令，則，
再令，
則，故m（x）在上為減函數，于是，
從而，l（x）＞0，于是l（x）在上為增函數，所以，
故要使恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
綜上，若函數f（x）在上無零點，則a的最小值為2-4ln2；

（III）g'（x）=e^1-x-xe^1-x=（1-x）e^1-x，
當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，函數g（x）單調遞增；
當x∈（1，e]時，g'（x）＜0，函數g（x）單調遞減．
又因為g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e^1-e＞0，
所以，函數g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]．
當a=2時，不合題意；當a≠2時，f'（x）=，x∈（0，e]
當x=時，f'（x）=0．
由題意得，f（x）在（0，e]上不單調，故，即①
此時，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

又因為，當x→0時，f（x）→+∞，
，
所以，對任意給定的x∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），
使得f（x_i）=g（x）成立，當且僅當a滿足下列條件：
即
令h（a）=，
則h，令h'（a）=0，得a=0或a=2，
故當a∈（-∞，0）時，h'（a）＞0，函數h（a）單調遞增；
當時，h'（a）＜0，函數h（a）單調遞減．
所以，對任意，有h（a）≤h（0）=0，
即②對任意恒成立．
由③式解得：．④
綜合①④可知，當時，對任意給定的x∈（0，e]，
在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），
使f（x_i）=g（x）成立．
點評：此題考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調性，會根據函數的增減性求出閉區間上函數的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道壓軸題．