Question

已知函數f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）求函數f（x）的單調區間；
（III）若對任意a∈（-3，-2）及x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當a=2時，f（x）=x²-（2a+1）+alnx=x²-5x+2lnx
∴f′（x）=2x-5+
∴f′（1）=-1，f（1）=-4，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+3=0
（II）∵f′（x）=2x-（2a+1）+=
令f′（x）=0，可得，x₂=a
①當a＞時，由f′（x）＞0可得，
f（x）在（0，），（a，+∞）上單調遞增，
由f′（x）＜0可得：
f（x）在（，a）上單調遞減，
②當a=時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當0＜a＜時，由f′（x）＞0可得
f（x）在（0，a），（，+∞）上單調遞增，
由f′（x）＜0，可得f（x）在（a，）上單調遞減
④當a≤0時，由f′（x）＞0，可得，
f（x）在（，+∞）上單調遞增，
由f′（x）＜0可得f（x）在（0，）上單調遞減．
（III）由題意可知，對?a∈（-3，-2），x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立
等價于ma-1＜f（x）_min，
由（II）知，當a∈（-3，-2）時，f（x）在[1，3]上單調遞增
∴f（x）_min=f（1）=-2a，
∴原題等價于對?a∈（-3，-2）時，ma-1＜-2a恒成立，
即m＞=-2，在a∈（-3，-2）時，有-＜＜-
故當m≥-時，ma-1＜-2a恒成立，
∴m≥-．
分析：（I）當a=2時，f（x）=x²-（2a+1）+alnx=x²-5x+2lnx，對f（x）進行求導，求出x=1處的斜率，再根據點斜式求出切線的方程；
（II）對f（x）進行求導，令f′（x）=0，并求出其極值點，從而求出其單調區間；
（III）由題意可知，對?a∈（-3，-2），x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立等價于ma-1＜f（x）_min，從而求出m的取值范圍；
點評：此題主要考查利用導數求函數的單調區間，利用導數研究某點的切線方程，關于恒成立的問題，一般都要求函數的最值，此題是一道中檔題．