Question

函數(shù)f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞1）的定義域

 

，值域

 

，當x≥1恒有f（x）≥0，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，被開方數(shù)大于或等于0，求出x的取值范圍即可；
②利用換元法，設

4-ax

=t，求出函數(shù)y=f（x）的值域是什么；
③解不等式f（x）≥0，求出a^x≥3，再根據(jù)題意，求出a的取值范圍．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞1），
∴4-a^x≥0，
即a^x≤4；
又∵a＞1，
∴x≤log_a4；
∴f（x）的定義域為（-∞，log_a4）；
②設

4-ax

=t，t≥0，
則4-a^x=t²，
∴a^x=4-t²；
∴函數(shù)y=f（x）=4-t²-2t-1=4-（t+1）²≤4-1=3，
∴函數(shù)f（x）的值域是（-∞，3]；
③當x≥1恒有f（x）≥0，
即a^x-2

4-ax

-1≥0，
∴a^x-1≥2

4-ax

；
兩邊平方，得a^2x-2a^x+1≥4（4-a^x），
整理，得a^2x+2a^x-15≥0，
解得a^x≥3，或a^x≤-5（舍去），
又∵a≥1，
∴a≥3；
∴a的取值范圍是[3，+∞）．
故答案為：（-∞，log_a4），（-∞，3]，[3，+∞）．

點評：本題考查了求函數(shù)的定義域和值域的問題，也考查了不等式恒成立的問題，在綜合性題目．