Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記函數(shù)的極值點(diǎn)為，若，且，求證：

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）對(duì)求導(dǎo)，由得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（2）利用極值求出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、最值進(jìn)行求解。

詳解：(1)，令，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（2）由可得，所以的極值點(diǎn)為.

于是，等價(jià)于,

由得且.

由整理得，，即.

等價(jià)于，①

令，則.

式①整理得，其中.

設(shè),.

只需證明當(dāng)時(shí)，.

又，設(shè) ，

則

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

所以,；

注意到，，

，

所以，存在，使得，

注意到，，而，所以.

于是，由可得或；由可得.

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

于是，，注意到，，，

所以，，也即，其中.

于是，.