Question

若點(diǎn)P到點(diǎn)F（

1

2

，0）的距離與它到直線x+

1

2

=0的距離相等．
（1）求P點(diǎn)軌跡方程C，
（2）A點(diǎn)是曲線C上橫坐標(biāo)為8且在X軸上方的點(diǎn)，過A點(diǎn)且斜率為1的直線l與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求C與l所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）直接由拋物線的定義得P點(diǎn)軌跡方程；
（2）求出直線l的方程，通過作草圖可把要求的圖形的面積用積分表示，然后通過求積分得到C與l所圍成的圖形的面積．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F（

1

2

，0）的距離與它到直線x+

1

2

=0的距離相等
所以P點(diǎn)軌跡為以點(diǎn)F（

1

2

，0）為焦點(diǎn)的拋物線，
其方程為y²=2x；
（2）當(dāng)x=8時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），故AF直線方程為
y-4=1×（x-8），即y=x-4．
作出曲線y²=2x，y=x-4的草圖如圖，
解方程組

y2=2x y=x-4

，得B（2，-2）
所求面積為S=2

∫

2 0

(

2x

)dx+

∫

8 2

(

2x

-(x-4))dx
=2

2 ∫

2 0

x

1

2

dx+

2 ∫

8 2

x

1

2

dx

-∫

8 2

xdx

+∫

8 2

4dx
=

4 2

3

x 3 2 |

2 0

+

2 2

3

x 3 2 |

8 2

-

1

2

x2|

8 2

+4

x|

8 2

=

4 2

3

×2

3

2

+

2 2

3

(8

3

2

-2

3

2

)-

1

2

(82-22)+24=18．
所以C與l所圍成的圖形的面積為18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用積分求曲邊梯形的面積，屬中檔題．