Question

設[x]是不超過x的最大整數，則[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃500]=

2142

．

Answer 1

分析：先根據對數的運算性質判斷[log₃1]、[log₃2]、[log₃3]…[log₃500]的大小，最后加起來即可．

解答：解：由題意可知：設[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b為整數
a=3^b+x，0≤x＜1，
因為y=3^x為單調增函數
當a在[1，2]時
因為3⁰=1，3¹=3
則0＜b+x＜1
所以b=0時，[log₃1]=[log₃2]=0
當a在[3，8]時
同理1＜b+x＜2
b=1時，[log₃3]=[log₃4]=…=[log₃8]=1
b=2時，[log₃9]=[log₃10]=…=[log₃26]=2．
b=3時，[log₃27]=[log₃28]=…=[log₃80]=3．
b=4時，[log₃81]=[log₃82]=…=[log₃242]=4．
b=5時，[log₃243]=[log₃244]=[log₃245]=…=[log₃500]=5．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃500]
=0×（3¹-3⁰）+1×（3²-3¹）+2×（3³-3²）+3×（3⁴-3³）+4×（3⁵-3⁴）+5×（500-243+1）
=1×6+2×18+3×54+4×162+5×257
=1×6+2×18+3×54+4×162+5×257=2142．
故答案為：2142．

點評：本題考查對數的運算法則，解題時要注意公式的靈活運用，同時要注意總結規律．