Question

已知0<x₁，且，試證：數列或者對任意自然數n都滿足x_n<x_n+1，或者對任意自然數n都滿足x_n>x_n+1。

 

Answer 1

答案：
解析：

， 由于x1>0，由遞推式可知xn>0，所以xn+1－xn與1－同號。 （1）若0<x1<1， ①當n=1時，1－>0成立， ②設n=k時，1－>0，則當n=k+1時，     即n=k+1時，1－>0，由①、②知，對于一切自然數，都有1－>0， 從而對一切自然數n，都有xn+1>xn。     (2)若x1>1，同理可證對一切自然數n都有xn+1<xn。     由(1)、(2)可知，或者對任意自然數n，都有xn<xn+1或者對任意自然數n都有xn>xn+1。