Question

已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC與BD交于E點，BD=2，BC=CD．
（1）取PD中點F，求證：PB∥平面AFC．
（2）求二面角A-PB-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用空間坐標系解．先以AC、AP分別為y、z軸，A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，欲證PB∥平面ACF，只須證PB∥EF，分別求出向量的坐標后，結合向量的線性運算即可進行判斷．
（2）欲求二面角A-PB-E的余弦值，只須求出平面PAB、平面PBE的法向量的夾角，再結合圖形求其補角即得．

解答：解：以AC、AP分別為y、z軸，A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
∵PA=AB=AD=BD=2，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴△ABD是等邊三角形，且E是BD中點，AC⊥BD，
則A（0，0，0）、B(1，

3

，0)、D(-1，

3

，0)、E(0，

3

，0)、P（0，0，2）、F(-

1

2

，

3

2

，1)
（1）

PB

=(1，

3

，-2)、

FE

=(

1

2

，

3

2

，-1)，
∴

PB

=

1

2

FE

，
∴PB∥EF，
∴PB∥平面ACF．
（2）設平面PAB、平面PBE的法向量分別為

n

1=(x1，y1，0)、

n

2=(x2，y2，-1)，
則

n1

、

n2

的夾角的補角就是二面角A-PB-E的平面角．
∵

AB

=(1，

3

，0)，

PB

=(1，

3

，-2)，

PE

=(0，

3

，-2)，
由

n1

•

AB

=0及

n2 • PB =0 n2 • PE =0

得

n1

=(-

3

，1，0)，

n2

=(0，-

2

3

，-1)．
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=-

7

7

，
∴二面角A-PB-E的余弦值為

7

7

．

點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及直線與平面平行的判定等知識，還考查了空間想象力、空間向量的運算．屬于基礎題．