Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x-sinx（x∈R）．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）是R上單調(diào)遞增函數(shù)；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x²-a）+f（x-ax）＜0．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性；
（II）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及函數(shù)解析式，可判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合（I）中函數(shù)的單調(diào)性和定義域，可將不等式f（x²-a）+f（x-ax）＜0化為（x+1）（x-a）＜0，分別討論對(duì)應(yīng)方程兩根a與-1的大小，即可得到不同情況下原不等式的解集．

解答：證明：（I）∵f（x）=x³+2x-sinx
∴f′（x）=3x²+2-cosx=3x²+（2-cosx）
∵3x²≥0，2-cosx＞0恒成立，
故f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）是R上單調(diào)遞增函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（-x）=（-x）³+2（-x）-sin（-x）=-（x³+2x-sinx）=-f（x）
函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
原不等式可化為f（x²-a）＜-f（x-ax）=f（ax-x）
由（1）可得x²-a＜ax-x，即x²+（1-a）x-a＜0，
即（x+1）（x-a）＜0，
當(dāng)a＜-1時(shí)，原不等式的解析為（a，-1）
當(dāng)a=-1時(shí)，原不等式的解析為∅
當(dāng)a＞-1時(shí)，原不等式的解析為（-1，a）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的證明及應(yīng)用，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法證明單調(diào)性及定義法證明奇偶性是解答的關(guān)鍵．