Question

兩個邊長均為3的正方形ABCD和ABEF所在平面垂直相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN．
（1）證明：MN∥平面BCE；
（2）當AM=FN=

2

  時，求MN的長度．

Answer 1

分析：（1）證法一：（線面平行的判定定理法）作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，連接PQ，先證出Rt△MCP≌Rt△NBQ，進而得到四邊形MPQN為平行四邊形．則MN∥PQ，再由線面平行的判定定理得到答案．
證法二：（面面平行的性質法）過M作MH⊥AB于H，連接NH，由面面平行的判定定理證明出平面MNH∥平面BCE，進而由面面平行的性質得到MN∥平面BCE；
（2）當AM=FN=

2

時，根據（1）中比例關系，我們可又求出MH，NH的長，解Rt△MNH可得答案．

解答：證明：（1）證法一：（線面平行的判定定理法）
如圖一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，連接PQ，
則MP∥AB，NQ∥AB．
所以MP∥NQ，
又AM=NF，AC=BF，
所以MC=NB．
又∠MCP=∠NBQ=45°，
所以Rt△MCP≌Rt△NBQ，
所以MP=NQ．
故四邊形MPQN為平行四邊形．
所以MN∥PQ．…..（4分）
因為PQ∥平面BCE，MN∥平面BCE，
所以MN∥平面BCE…..（6分）
法二：如圖二，過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC．
所以

AM

AC

=

AH

AB

．
連接NH，由BF=AC，FN=AM，得

FN

FB

=

AH

AB

，
所以NH∥AF∥BE．…..（2分）
又∵NH∩BH=H，BC∩BE=B，NH，BH?平面MNH，BC，BE?平面BCE
∴平面MNH∥平面BCE…..（4分）
因為MN?平面MNH，
所以MN∥平面BCE．…..（6分）
（2）如圖二，∵AM=FN=

2

由比例關系易得：
∵

AM

AC

=

FN

FB

=

AH

AB

=

MH

BC

=

1

3

，
∴在Rt△ABC中，MH=1，
在Rt△ABF中，NH=2，
∴在Rt△MNH中，MN=

5

．…..（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，點到點的距離的計算，其中熟練掌握空間線面關系證明的不同方法是解答的關鍵．