Question

（2012•保定一模）選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線C_l：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數），圓C₂：ρ=1（極坐標軸與x軸非負半軸重合）
（1）當α=

π

3

時，求直線C₁被圓C₂所截得的弦長；
（2）過坐標原點O作C₁的垂線，垂足為A、當a變化時，求A點的軌跡的普通方程．

Answer 1

分析：（1）當α=

π

3

時，直線C₁化為普通方程為y=

3

（x-1），圓C₂：ρ=1，即 x²+y²=1，聯立方程組求出直線C₁與圓C₂的交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．
（2）由于直線C_l過定點M（1，0），設垂足A的坐標為（x，y），則由題意可得

OA

⊥

AM

，故 

OA

•

AM

=0，化簡可得A點的軌跡的普通方程．

解答：解：（1）當α=

π

3

時，直線C₁即

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

，消去t，化為普通方程為y=

3

（x-1）．
圓C₂：ρ=1，即 x²+y²=1，
由

x2+y2=1 y= 3 (x-1)

 解得直線C₁與圓C₂的交點為（1，0）、（

1

2

，

3

2

），
故直線C₁被圓C₂所截得的弦長為

(1- 1 2 )2+(0- 3 2 )2

=1．
（2）由于直線C_l：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數）過定點M（1，0），
設垂足A的坐標為（x，y），則由題意可得

OA

⊥

AM

，故 

OA

•

AM

=0．
故有（x，y）•（1-x，0-y）=x（1-x）-y²=0，
化簡可得 x²+y²-x=0．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓相交的性質，求點的軌跡方程，兩個向量的數量積公式，屬于基礎題．