Question

已知函數f(x)=x+

t

x

（x＞0）和點P（1，0），過點P作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
（1）求證：x₁，x₂為關于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）設|MN|=g（t），求函數g（t）的表達式．

Answer 1

分析：（1）用導數值與切線的斜率相等，求出切點橫坐標的關系，判斷是方程x²+2tx-t=0的兩根即可；
（2）求過切點的切線方程，找出兩切點關系，再利用兩點間的距離公式求解即可．

解答：（1）證明：求導函數，可得f′（x）=1-

t

x2

，切點（x，x+

t

x

），
所以，

x+ t x

x-1

=1-

t

x2

，可得x²+2tx-t=0，
顯然方程的兩個根就是切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標，
所以x₁，x₂是關于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）解：因為M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，
又f′（x）=1-

t

x2

，∴切線PM的方程為：y-（x₁+

t

x1

）=（1-

t

x12

）（x-x₁）．
又∵切線PM過點P（1，0），∴有0-（x₁+

t

x1

）=（1-

t

x12

）（1-x₁）．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切線PN也過點（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根
∴x₁+x₂=-2t，x₁x₂=-t
∴|MN|=

20t2+20t

（t＞0）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．