Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+（2a+1）x+b，其中a，b∈R． （Ⅰ）當(dāng)a=1，b=﹣4時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）的圖象在直線y=x+2的上方，證明：b＞2；
（Ⅲ）當(dāng)b=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4，或x=1．

所以函數(shù)f（x）有零點(diǎn)﹣4和1．

（Ⅱ）證明：（方法1）因?yàn)閒（x）的圖象在直線y=x+2的上方，

所以ax2+（2a+1）x+b＞x+2對(duì)x∈R恒成立．

即ax2+2ax+b﹣2＞0對(duì)x∈R恒成立．

所以當(dāng)x=0時(shí)上式也成立，代入得b＞2．

（方法2）因?yàn)閒（x）的圖象在直線y=x+2的上方，

所以ax2+（2a+1）x+b＞x+2對(duì)x∈R恒成立．

即ax2+2ax+b﹣2＞0對(duì)x∈R恒成立．

當(dāng)a=0時(shí)，顯然b＞2．

當(dāng)a≠0時(shí)，

由題意，得a＞0，且△=（2a）2﹣4a（b﹣2）＜0，

則4a（b﹣2）＞4a2＞0，

所以4a（b﹣2）＞0，即b＞2．

綜上，b＞2．

（Ⅲ）由題意，得不等式ax2+（2a+1）x+2＜0，即（ax+1）（x+2）＜0．

當(dāng)a=0時(shí)，不等式化簡為x+2＜0，解得x＜﹣2；

當(dāng)a≠0時(shí)，解方程（ax+1）（x+2）=0，得根x1=﹣2， ．

所以，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解為：x＜﹣2，或 ；

當(dāng) 時(shí)，不等式的解為： ；

當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng) 時(shí)，不等式的解為： ．

綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜﹣2，或 ；

當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜﹣2}；

當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為 ；

當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為

【解析】（Ⅰ）解方程x2+3x﹣4=0，即可得到所求零點(diǎn)；（Ⅱ）（方法1）由題意可得ax2+（2a+1）x+b＞x+2對(duì)x∈R恒成立．考慮x=0，可得結(jié)論；

（方法2）由題意可得ax2+2ax+b﹣2＞0對(duì)x∈R恒成立．討論當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a≠0時(shí)，得a＞0，且△=（2a）2﹣4a（b﹣2）＜0，即可得證；（Ⅲ）由題意可得（ax+1）（x+2）＜0，對(duì)a討論，當(dāng)a＜0，a=0，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，運(yùn)用二次不等式的解法，即可得到所求解集．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．