Question

下列命題中，其中正確命題的個數為（ ）
（1）PA⊥矩形ABCD所在平面，則P，B兩點間的距離等于P到BC的距離；
（2）若a∥b，a?α，b?α，則a與b的距離等于a與α的距離；
（3）直線a，b是異面直線，a?α，b∥α則a，b之間的距離等于b與α之間的距離；
（4）直線a，b是異面直線，a?α，b?β，且α∥β，則a，b之間的距離等于α與β之間的距離．
A．一個
B．二個
C．三個
D．四個

Answer 1

【答案】分析：（1）根據線面垂直的性質可知PA⊥BC，而BC⊥AB，AB∩BC=B，，滿足線面垂直的判定定理，得到BC⊥面PAB，而PB?面PAB，則PB⊥BC，從而說明P，B兩點間的距離等于P到BC的距離；
（2）可以在正方體中進行列舉，如正方體中A₁B₁∥CD，A₁B₁?面ABCD，CD?面ABCD，此時A₁B₁與CD的距離不等于A₁B₁與面ABCD的距離；
（3）由異面直線公垂線與平面α垂直可判定真假；
（4）由異面直線公垂線與兩個平面垂直可以判斷真假．
解答：解：（1）∵PA⊥矩形ABCD所在平面，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，而BC⊥AB，AB∩BC=B，
∴BC⊥面PAB，而PB?面PAB
則PB⊥BC，即P，B兩點間的距離等于P到BC的距離，故（1）正確；
（2）如正方體中A₁B₁∥CD，A₁B₁?面ABCD，CD?面ABCD，此時A₁B₁與CD的距離不等于A₁B₁與面ABCD的距離，故（2）不正確；
（3）直線a，b是異面直線，a?α，b∥α則將b移到與a相交得到的平面即為α，根據異面直線的公垂線段長即為異面直線的距離可知a，b之間的距離等于b與α之間的距離，故（3）正確；
（4）兩個異面直線之間的公垂線段與兩個平面都垂直，故兩個異面直線之間的距離即兩個平面之間的距離，故（4）正確．
故有3個正確命題
故選C．
點評：本題主要考查空間中兩個平面之間的線面距、點面距、面面距，重點考查對概念的理解與空間想象能力，屬于中檔題．