Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值10，求實數(shù)a，b的值；
（2）若a=0，
（I）方程f（x）=2在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍；
（II）不等式f（x）+2b≥0對?x∈[1，4]恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得，f′（1）=0，f（1）=10，代入可求a，b
（2）（I）由題意f（x）-2=可得0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，對函數(shù)g（x）求導(dǎo)可得g’（x）=3x²-b，分類討論：分（ⅰ）若b≤0，（ⅱ）b＞0，兩種情況討論g（x）在[-4，4]上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求b
（II）法一：由已知整理可得（x-2）b≤x³，分類討論（ⅰ）若x-2=0（ⅱ）若x-2＜0（ⅲ）若x-2＞0三種情況，由恒成立轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)相應(yīng)的最值即可求解
法二：由已知可得x³-bx+2b≥0，構(gòu)造函數(shù)T（x）=x³-bx+2b，通過討論函數(shù)T（x）的單調(diào)性可求函數(shù)T（x）在[1，4]上的最小值，通過恒成立與函數(shù)最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系即可求解b的范圍

解答：解：（1）對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=3x²-2ax-b
由題意可得，f′（1）=0，f（1）=10（2分）
∴3-2a-b=0，1-a-b+a²=10
∴a=3，b=-3或a=-4，b=11（4分）
經(jīng)檢驗a=3，b=-3不合題意，舍去
∴a=-4，b=11（5分）
（2）（I）由f（x）=2，得f（x）-2=0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，
則方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實數(shù)解．
∵g’（x）=3x²-b，
（ⅰ）若b≤0，則g’（x）≥0恒成立，且函數(shù)g（x）不為常函數(shù)，
∴g（x）在區(qū)間[-4，4]上為增函數(shù)，不合題意，舍去．          （6分）
（ⅱ）若b＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，-

3b

3

）上為增函數(shù)，在區(qū)間（-

3b

3

，

3b

3

）上為減函數(shù)，在區(qū)間（

3b

3

，+∞）上為增函數(shù)，
由方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3個不相等的實數(shù)解，可得

g(-4)≤0 g(- b 3 )＞0 g( b 3 )＜0 g(4)≥0

（9分）
解得

b≤ 33 2 b＞3 b＞0 b≤ 31 2

∴b∈(3，

31

2

]（ （10分） ）
（II）法一：由不等式f（x）+2b≥0，得x³-bx+2b≥0，即（x-2）b≤x³，
（ⅰ）若x-2=0即x=2時，b∈R；   （11分）
（ⅱ）若x-2＜0即x∈[1，2）時，b≥在區(qū)間[1，2）上恒成立，令h（x）=，則b≥h（x）_max．
∵h’（x）=，
∴h’（x）＜0在x∈[1，2）上恒成立，所以h（x）在區(qū)間[1，2）上是減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（1）=-1，
∴b≥-1．        （13分）
（ⅲ）若x-2＞0即x∈（2，4]時，b≤在區(qū)間（2，4]上恒成立，則b≤h（x）_min．
由（ⅱ）可知，函數(shù)h（x）在區(qū)間（2，3）上是減函數(shù)，在區(qū)間（3，4]上是增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（3）=27，
∴b≤27  （15分）
綜上所述，b∈[-1，27]（16分）
法二：∵f（x）+2b≥0
∴x³-bx+2b≥0
設(shè)T（x）=x³-bx+2b，T′（x）=3x²-b（11分）
當(dāng)b≤0時，T′（x）=3x²-b≥0，T（x）在[1，4]上為增函數(shù)，T（x）_min=T（1）=1+b，所以1+b≥0，-1≤b≤0（12分）
當(dāng)b＞0時，T（x）在區(qū)間（-∞，-

b 3

）上為增函數(shù)，在區(qū)間（-

b 3

，

b 3

）上為減函數(shù)，在區(qū)間（

b 3

，+∞）上為增函數(shù)，
若

b 3

≤1，即0＜b≤3時，T（x）在[1，4]上為增函數(shù)，T（x）_min=T（1）=1+b
所以1+b≥0，0＜b≤3（13分）
若1＜

b 3

＜4時，3＜b＜48時，T（x）在[1，

b 3

]上為減函數(shù)，在[

b 3

，4]上為增函數(shù)，
所以T(x)min=T(

b 3

)≥0，得3＜b≤27（14分）
若

b 3

≥4時，即b≥48時，T（x）在[1，4]上為減函數(shù)，T（x）_min=T（4）=64-2b≥0，
得b≤32，舍去．  （15分）
故b的取值范圍是[-1，27]（16分）

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值與最值的求解及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．