Question

設F₁、F₂，分別是橢圓

x2

25

-

y2

9

=1的左、右焦點，點P在橢圓上，若|PF₁|=9|PF₂|，則P點的坐標為

（5，0）

．

Answer 1

分析：設P（x₀，y₀）利用橢圓的第二定義可求得|PF₁|，|PF₂|，利用|PF₁|=9|PF₂|即可求得點P的橫坐標x₀，繼而可得答案．

解答：解：設P（x₀，y₀），
∵橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右準線l₂的方程為x=

a2

c

=

a2

a2-b2

=

25

25-9

=

25

4

，
∴橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的左準線l₁的方程為x=-

25

4

；
設點P在l₁上的射影為P′，在l₂上的射影為P″，
則由橢圓的第二定義得：

|PF1|

|PP′|

=

|PF2|

|PP″|

=e=

c

a

=

4

5

，
∴|PF₁|=

4

5

|PP′|=

4

5

（x₀+

25

4

），
同理可得，|PF₂|=

4

5

（

25

4

-x₀），
∵|PF₁|=9|PF₂|，
∴

4

5

（x₀+

25

4

）=9×

4

5

（

25

4

-x₀），
解得x₀=5．
∴y₀=0，
∴P點的坐標為（5，0）．

點評：本題考查橢圓的第二定義，考查方程思想與化歸思想的綜合運用，考查邏輯思維能力與運算能力，屬于中檔題．