Question

如圖，設(shè)P是拋物線y=x²上一點(diǎn)，且在第一象限．過(guò)點(diǎn)P作拋物線的切線，交x軸于Q₁點(diǎn)，過(guò)Q₁點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于P₁點(diǎn)，此時(shí)就稱P確定了P₁．依此類推，可由P₁確定P₂，…．記P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①x_n＞0；
②數(shù)列{x_n}是公比為的等比數(shù)列；
③當(dāng)x=1時(shí)，y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為    ．

Answer 1

【答案】分析：通過(guò)求導(dǎo)即可得到切線的斜率，進(jìn)而得到切線的方程，即可得到x_n+1與x_n的關(guān)系，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式即可求出．
解答：解：求導(dǎo)得：y′=2x，
∴在P_n處作曲線C的切線的斜率為2x_n，
則此切線方程為y-y_n=2x_n（x-x_n），即y=2x_nx-x_n²，
令y=0，得到x=x_n，∴Q_n+1（x_n，0），即x_n+1=x_n，
∵x₁＞0，∴x_n＞0，即①正確；
∵x_n+1=x_n，∴數(shù)列{x_n}是公比為的等比數(shù)列，即②不正確；
③當(dāng)x=1時(shí)，數(shù)列{x_n}是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴數(shù)列{y_n}是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列
∴y+y₁+y₂+…+y_n=＜＜2，即③正確．
綜上，正確結(jié)論的序號(hào)為①③．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．