Question

設a₁，a₂，…，a_n是各項不為零的n（n≥4）項等差數列，且公差d≠0．若將此數列刪去某一項后，得到的數列（按原來順序）是等比數列，則所有數對(n，

a1

d

)所組成的集合為

 

．

Answer 1

分析：設出數列的公差d，列舉出數列的各項，討論從第一項開始刪去，由得到的數列為等比數列，利用等比數列的性質，列出關于d與首項的方程，求出方程的解即可得到d的值，根據d不為0，得到滿足題意的d的值，即可求出滿足題意的所有數對，組成集合的形式即可．

解答：解：設數列{a_n}的公差為d，則各項分別為：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假設去掉第一項，則有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合題意；
去掉第二項，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，化簡得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，解得d=-

a1

4

，
因為數列的各項不為零，所以數列不會出現第五項（a₁+4d=0），所以數對(n，

a1

d

)=（4，-4）；
去掉第三項，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，化簡得：d²-a₁d=0即d（d-a₁）=0，解得d=a₁
則此數列為：a，2a，3a，4a，…此數列仍然不會出現第五項，
因為出現第五項，數列不為等比數列，所以數對(n，

a1

d

)=（4，1）；
去掉第四項時，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，化簡得：d=0，不合題意；
當去掉第五項或更遠的項時，必然出現上述去掉第一項和第四項時的情況，即d=0，不合題意．
所以滿足題意的數對有兩個，組成的集合為{（4，-4），（4，1）}．
故答案為：{（4，-4），（4，1）}

點評：此題考查學生靈活運用等比數列的性質化簡求值，是一道中檔題．學生做題時應時刻注意公差d不為0和各項不為0的條件．