Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0），滿足條件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．         
（1）求f（x）的解析式；         
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（1+x）=f（1-x），可得函數的對稱軸為x=1，由f（x）=x有等根，得判別式△=0，聯立方程即可．
（2）將拋物線進行配方，利用對稱軸和區間[1，2]的關系確定函數的值域．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴二次函數f（x）的對稱軸為x=-

b

2a

=1①，
又∵方程 f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）²-4a•0=0②，
由①②得：b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）的解析式為：f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）由（1）知：f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

．
f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

．
顯然函數f（x）在[1，2]上是減函數，
∴x=1時，ymax=

1

2

，x=2時，y_min=0，
∴x∈[1，2]時，函數的值域是[0，

1

2

]．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，以及利用待定系數法法求二次函數的解析式．