Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F和橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點重合，直線l過點F交拋物線于A、B兩點，點A、B在拋物線C的準線上的射影分別為點D、E．
（Ⅰ）求拋物線C的過程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=m

AF

，

MB

=n

BF

，對任意的直線l，m+n是否為定值？若是，求出m+n的值，否則，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的右焦點F（1，0），知

p

2

=1，p=2，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1），l與y軸交于M（0，-k），設直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) y2=4x

?k2x2-2(k2+2)x+k2=0，再由根的判別式和韋達定理能推導出對任意的直線l，m+n為定值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的右焦點F（1，0），∴

p

2

=1，p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x（3分）
（Ⅱ）由已知得直線l的斜率一定存在，所以設l：y=k（x-1），l與y軸交于M（0，-k），設直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

?k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∴△=4（k²+2）²-4k⁴=16（k²+1）＞0
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x1•x2=1（7分）
又由

MA

=m

AF

，∴（x₁，y₁+k）=m（1-x₁，-y₁），∴x₁=m（1-x₁），
即m=

x1

1-x1

，同理n=

x2

1-x2

，（9分）
∴m+n=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

x1+x2-2x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

=-1
所以，對任意的直線l，m+n為定值-1（12分）

點評：本題考查拋物線方程的求法和判斷m+n是否為定值．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用圓錐曲線的性質，合理地進行等價轉化．