Question

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，AB=BC=CA=2, M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上．

（1）證明：平面PAB平面PCM；

（2）證明：線段PC的中點為球O的球心;

（3）若球O的表面積為，求二面角A―PB―C的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：∵AC=BC，M為AB的中點，

∴CM⊥AB。

∵PA⊥平面ABC，CM平面ABC，

∴PA⊥CM。

∵ABPA=A，AB平面PAB，PB平面PAB。

∴CM⊥平面PAB。

∵CM平面PCM

∴平面PAB⊥平面PCM。

（2）證明：由（1）知CM⊥平面PAB。

∵PM平面PAB，

∴CM⊥PM

∵PA⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴PA⊥AC

取PC的中點N，連接MN、AN，在Rt△PAC中，點N為斜邊PC的中點，

∴MN=PN=NC

∴PN=NC=AN=MN

∴點N是球O的球心，即線段PC的中點為球O的球心

（3）解法一：依題意得

解得NC=

∴PC=2，PA

作MD⊥PB，垂足為D，連接CD

由（1）知CM⊥平面PAB。

∵PB平面PAB。

∴PB⊥CM

∵MDMC=M，

∴PB⊥平面CMD

∵CD平面CMD，

∴CD⊥PB。

∴∠CDM是二面角A―PB―C的平面角。

在Rt△PAB和Rt△MDB中，PB

∴MD=

在Rt△CMD中，

∴二面角A―PB―C的平面角的余弦值是

解法二：依題意得依題意得

解得NC=

∴PC=2，PA

如圖，建立空間直角坐標系數A-xyz

則A（0，0，0），M

由（1）知的一個法向量

設平面PBC的法向量n的坐標為（x,y,z）

由

令x=2，得

∴平面PBC的一個法向量為

∴

∴二面角A―PB―C的平面角的余弦值是