Question

（2012•梅州一模）設x，y滿足約束條件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為7，則

3

a

+

4

b

的最小值為（　　）

• A．4
• B．

  7+4 3

  7

• C．

  24

  7

• D．7

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數z=ax+by對應的直線進行平移，可得當x=3，y=4時，z最大值為3a+4b=7．然后利用常數代換結合基本不等式，可得當且僅當a=b=1時，

3

a

+

4

b

的最小值為7．

解答：解：作出不等式組

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，其中A（1，0），B（0，1），C（3，4）
設z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），將直線l：z=ax+by進行平移，
當l經過點C時，目標函數z達到最大值
∴z_最大值=F（3，4）=3a+4b=7，可得

1

7

（3a+4b）=1
因此，

3

a

+

4

b

=

1

7

（3a+4b）（

3

a

+

4

b

）=

1

7

（25+

12b

a

+

12a

b

）
∵

12b

a

+

12a

b

≥2

12b a • 12a b

=24
∴

1

7

（25+24）≥

1

7

×49=7，
即當且僅當a=b=1時，

3

a

+

4

b

的最小值為7
故選：D

點評：本題給出二元一次不等式組，在已知目標函數z=ax+by最大值為7的情況下求

3

a

+

4

b

的最小值．著重考查了運用基本不等式求最值和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．