Question

已知函數f(x)=2x-

a

2x

（a＞0），且函數f（x）是奇函數
（1）求a值；
（2）判斷證明函數f（x）在（-∞，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）是R上的奇函數，由f（0）=0可求得a；
（2）利用函數單調性的定義，令x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）判斷與0的大小關系，即可證明．

解答：解：（1）∵f(x)=2x-

a

2x

的定義域為R，且函數f（x）是奇函數，
∴f（0）=1-a=0，
∴a=1；
（2）f（x）為（-∞，+∞）上的增函數．
證明：∵f(x)=2x-

a

2x

，a＞0，
∴f′（x）=2^xln2+（-a）×（-1）2^-xln2=2^xln2（1+a）＞0，
∴f（x）為（-∞，+∞）上的增函數．

點評：本題考查函數的奇偶性的應用，考查學生理解應用函數的奇偶性的概念的能力，分析轉化的能力，屬于中檔題．