Question

【題目】設函數f（x）= ， 若對任意給定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2at2+at，則正實數a的最小值是（　　）
A.1
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）= ，
∴當x≤0時，
f（f（x））==x；
當0＜x≤1時，log2x≤0；
故f（f（x））==x；
當x＞1時，
f（f（x））=log2（log2x）；
故f（f（x））=；
分析函數在各段上的取值范圍可知，
若對任意給定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2at2+at，
則f（f（x））＞1，
即2at2+at＞1，
又∵t∈（1，+∞），a＞0；
∴2a+a≥1即可，
即a≥；
故選：C．
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．