Question

已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點,P是橢圓上異于A,B的任意一點,Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點,a>b>0.

(1)若P（,）,Q（,1）,求橢圓C1的方程;

(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）+=1 （2）見解析

【解析】

(1)解:由解得

∴橢圓C1的方程為+=1.

(2)證明:由題意知A(-a,0),B(a,0),

設(shè)P(x1,y1),(x1≠±a)則+=1,

∴=b2（1-）=(a2-).

設(shè)Q(x2,y2),(x2≠±a),則-=1,

∴=b2（-1）=(-a2).

∴k1=,k2=,k3=,k3=.

∴k1·k2+k3·k4=+

=+

=0.

即k1k2+k3k4為定值,定值是0.