Question

（2008•佛山一模）數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2-an

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明S_n＜n-ln（

n+2

2

）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一，對數列遞推式變形，證明{

1

an-1

}是首項為-2，公差為-1的等差數列，從而可求求數列{a_n}的通項公式；
方法二，計算前幾項，猜想通項，再利用數學歸納法進行證明；
（Ⅱ）設F（x）=ln（x+1）-x，證明函數F（x）為（0，+∞）上的減函數，可得ln（x+1）＜x（x＞0），從而 ln(1+

1

n+1

)＜

1

n+1

，1-

1

n+1

＜1-ln(1+

1

n+1

)，進而可得結論．

解答：（Ⅰ）解：方法一：an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，
所以

1

an+1-1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

．                                  …（3分）
所以{

1

an-1

}是首項為-2，公差為-1的等差數列．                     …（4分）
所以

1

an-1

=-n-1，所以an=

n

n+1

．                                 …（6分）
方法二：a2=

2

3

，a3=

3

4

，a4=

4

5

，猜測an=

n

n+1

．                   …（2分）
下用數學歸納法進行證明．
①當n=1時，由題目已知可知a1=

1

2

，命題成立；                    …（3分）
②假設當n=k（k≥1，k∈N）時成立，即ak=

k

k+1

，那么
當n=k+1，ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

，
也就是說，當n=k+1時命題也成立．                               …（5分）
綜上所述，數列{a_n}的通項公式為an=

n

n+1

．                       …（6分）
（Ⅱ）證明：設F（x）=ln（x+1）-x（x＞0）
則F′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

＜0(x＞0)…（8分）
函數F（x）為（0，+∞）上的減函數，所以F（x）＜F（0）=0，即ln（x+1）＜x（x＞0）
從而 ln(1+

1

n+1

)＜

1

n+1

，1-

1

n+1

＜1-ln(1+

1

n+1

)，…（10分）an=1-

1

n+1

＜1-ln(n+2)+ln(n+1)，…（11分）
∴S_n＜（1-ln3+ln2）+（1-ln4+ln3）+…+[1-ln（n+2）+ln（n+1）]…（13分）
∴Sn＜n-ln(

n+2

2

)…（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．