Question

20、已知點（1，2）是函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上一點，數列{a_n}的前n項和是S_n=f（n）-1．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若b_n=log_aa_n+1，求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）把點（1，2）代入函數解析式中求得a，然后可得數列前n項和的表達式，進而利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n．
（II）把（I）中的a_n代入b_n中求得數列{a_n•b_n}的通項公式，然后利用錯位相減法求得數列的前n項的和．

解答：解：（I）把點（1，2）代入函數f（x）=a^x得a=2，
所以數列{a_n}的前n項和為S_n=f（n）-1=2ⁿ-1
當n=1時，a₁=S₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1
對n=1時也適合∴a_n=2^n-1
（II）由a=2，b_n=log_aa_n+1得b_n=n，
所以a_nb_n=n•2^n-1
T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++n•2^n-1①
2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
由①-②得：-T_n=2⁰+2¹+2²++2^n-1-n•2ⁿ
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．

點評：本題主要考查了數列的通項公式和前n項的和．考查了學生對數列知識的綜合把握．